Determine um vetor unitário paralelo ao plano X Y e perpendicular ao vetor v=(4,-3,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor unitário que seja paralelo ao plano XY e perpendicular ao vetor dado v = (4, -3, 1). Para resolver isso, precisamos conhecer conceitos de vetores, planos e produtos vetoriais.

Passo 2

Como o vetor que procuramos é paralelo ao plano XY, ele não tem componente na direção z. Portanto, seu formato será u = (a, b, 0), onde a e b são números reais que vamos encontrar.

Passo 3

Agora, queremos que u seja perpendicular a v. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. O produto escalar de u e v é:
u cdot v = a cdot 4 + b cdot (-3) + 0 cdot 1 = 4a - 3b
Para que sejam perpendiculares, temos:
4a - 3b = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação 4a - 3b = 0 para encontrar a relação entre a e b. Podemos isolar a:
4a = 3b Rightarrow a = 34b
Isso nos mostra que a e b são proporcionais, com a sendo 34 de b.

Passo 5

Agora, precisamos que o vetor u seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. O comprimento de u é dado por:
|u| = raiza^2 + b^2 + 0^2 = raiza^2 + b^2
Igualando a 1:
raiza^2 + b^2 = 1 Rightarrow a^2 + b^2 = 1

Passo 6

Substituindo a = 34b na equação a^2 + b^2 = 1:
(34b)^2 + b^2 = 1 916b^2 + b^2 = 1 916b^2 + 1616b^2 = 2516b^2 = 1 b^2 = 1625 Rightarrow b = pm 45

Passo 7

Com b = 45, temos:
a = 34 cdot 45 = 35
E com b = -45:
a = 34 cdot (-45) = -35

Resposta

Os vetores unitários que satisfazem as condições são:
u = (35, 45, 0) e u = (-35, -45, 0)

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