Determine um vetor unitário paralelo ao plano
e perpendicular ao vetor
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor unitário que seja paralelo ao plano XY e perpendicular ao vetor dado
. Para resolver isso, precisamos conhecer conceitos de vetores, planos e produtos vetoriais.
Passo 2
Como o vetor que procuramos é paralelo ao plano XY, ele não tem componente na direção z. Portanto, seu formato será
, onde
e
são números reais que vamos encontrar.
Passo 3
Agora, queremos que
seja perpendicular a
. Dois vetores são perpendiculares se o produto interno (ou produto escalar) deles for zero. O produto escalar de
e
é:
Para que sejam perpendiculares, temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar a relação entre
e
. Podemos isolar
:
Isso nos mostra que
e
são proporcionais, com
sendo
de
.
Passo 5
Agora, precisamos que o vetor
seja um vetor unitário, ou seja, tenha comprimento 1. O comprimento de
é dado por:
Igualando a 1:
Passo 6
Substituindo
na equação
:
Passo 7
Com
, temos:
E com
:
Resposta
Os vetores unitários que satisfazem as condições são: