Sejam
e
duas matrizes diagonais e seja
a matriz identidade de ordem
. Mostrar que
.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que envolve matrizes diagonais e a matriz identidade. A questão pede para mostrarmos que o produto de duas matrizes diagonais
e
resulta na matriz identidade
se e somente se, para todo índice
, o produto dos elementos diagonais
e
é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes diagonais, como multiplicamos duas matrizes e o que representa a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para a matriz
, temos que
quando
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a matriz identidade
. A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e todos os outros elementos são 0. Para uma matriz de ordem
, ela é representada por:
onde
é o delta de Kronecker, igual a 1 quando
e 0 caso contrário.
Passo 4
Vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se
e
são matrizes de ordem
, o elemento
da matriz resultante
é dado por:
No caso de matrizes diagonais, isso simplifica porque muitos termos são zero.
Passo 5
Vamos calcular o produto
onde
e
são matrizes diagonais. Como
e
são diagonais, temos:
E para
,
porque
ou
será zero.
Passo 6
Para que
, precisamos que todos os elementos diagonais de
sejam iguais a 1 e os demais sejam iguais a 0. Já vimos que para
,
, o que está correto. Agora, para os elementos diagonais, temos:
Isso precisa ser válido para todo
de 1 a
.
Passo 7
Agora, vamos analisar a outra direção: se
para todo
, então o produto
será a matriz identidade
. Isso ocorre porque, conforme mostrado, todos os elementos fora da diagonal já são zero, e os elementos diagonais serão 1 pela condição dada.
Resposta
Portanto, mostramos que
se e somente se
para todo
.