Sejam A=(ai j)n times n e B=(bi j)n times n duas matrizes diagonais e seja I a matriz identidade de ordem n times n. Mostrar que
A B=I Long<=ftrightarrow ai i cdot bi i=1 forall i=1,2,3, cdots, n.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve matrizes diagonais e a matriz identidade. A questão pede para mostrarmos que o produto de duas matrizes diagonais e resulta na matriz identidade se e somente se, para todo índice , o produto dos elementos diagonais e é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes diagonais, como multiplicamos duas matrizes e o que representa a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, para a matriz , temos que quando .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a matriz identidade I = ( de. A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e todos os outros elementos são 0. Para uma matriz de ordem , ela é representada por:
onde é o delta de Kronecker, igual a 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 4

Vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se cij = sumk=1^n aik cdot bkj e são matrizes de ordem , o elemento da matriz resultante é dado por:
No caso de matrizes diagonais, isso simplifica porque muitos termos são zero.

Passo 5

Vamos calcular o produto cij = sumk=1^n aik cdot bkj = aii cdot bii se i = j onde e são matrizes diagonais. Como e são diagonais, temos:
E para , porque ou será zero.

Passo 6

Para que cii = aii cdot bii = 1 , precisamos que todos os elementos diagonais de sejam iguais a 1 e os demais sejam iguais a 0. Já vimos que para , , o que está correto. Agora, para os elementos diagonais, temos:
Isso precisa ser válido para todo de 1 a .

Passo 7

Agora, vamos analisar a outra direção: se para todo , então o produto será a matriz identidade . Isso ocorre porque, conforme mostrado, todos os elementos fora da diagonal já são zero, e os elementos diagonais serão 1 pela condição dada.

Resposta

Portanto, mostramos que se e somente se para todo .

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