Sejam A e B vetores ortogonais não nulos. Se C=alpha A+beta B com alpha, beta escalares. Verifique que: alpha=A cdot C|A|^2 e beta=B cdot C|B|^2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre vetores e combinações lineares. Temos dois vetores não nulos, A e B, que são ortogonais, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si. Queremos encontrar os escalares alpha e beta na expressão C = alpha A + beta B. Para isso, vamos usar o produto escalar e as propriedades dos vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores ortogonais é zero. Ou seja, A cdot B = 0. Isso será útil para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar de A com C. Substituindo C na expressão, temos:
A cdot C = A cdot (alpha A + beta B)

Passo 4

Distribuindo o produto escalar, ficamos com:
A cdot C = alpha (A cdot A) + beta (A cdot B)
Como A e B são ortogonais, A cdot B = 0. Então:
A cdot C = alpha |A|^2

Passo 5

Para encontrar alpha, basta isolar na equação:
alpha = A cdot C|A|^2

Passo 6

Fazendo um processo parecido para beta, calculamos o produto escalar de B com C:
B cdot C = B cdot (alpha A + beta B)
Distribuindo:
B cdot C = alpha (B cdot A) + beta (B cdot B)
Novamente, B cdot A = 0, então:
B cdot C = beta |B|^2

Passo 7

Isolando beta na equação:
beta = B cdot C|B|^2

Resposta

alpha = A cdot C|A|^2 e beta = B cdot C|B|^2

Exercícios relacionados