Determine o ângulo entre os vetores: u=(-3,0) e v=(2,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores: u=(-3,0) e v=(2,-2). Aqui, a gente vai usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e a magnitude dos vetores, para achar esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo theta entre dois vetores, a gente usa a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Nessa fórmula:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • |u| e |v| são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. Para dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2), o produto escalar é:
u cdot v = u1 cdot v1 + u2 cdot v2
Aplicando aos nossos vetores:
u cdot v = (-3) cdot 2 + 0 cdot (-2) = -6 + 0 = -6

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores, que é basicamente o comprimento de cada vetor. A magnitude de um vetor u = (u1, u2) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2
Para u=(-3,0):
|u| = raiz(-3)^2 + 0^2 = raiz9 + 0 = raiz9 = 3
Para v=(2,-2):
|v| = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v| = -63 cdot 2raiz2 = -66raiz2 = -1raiz2

Passo 6

Para achar o ângulo theta, precisamos calcular o arco cosseno de -1raiz2. Sabemos que:
theta = arccos(-1raiz2)
Isso resulta em:
theta = 135^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 135^circ.

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