Determine o ângulo entre os vetores: u=(2,-1) e v=(1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que pede pra gente encontrar o ângulo entre os vetores u = (2, -1) e v = (1, -1). Para isso, vamos usar o produto escalar e magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos dois vetores. O produto escalar de u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é dado por:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Aplicando os valores:
u cdot v = 2 times 1 + (-1) times (-1) = 2 + 1 = 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a magnitude (ou módulo) de cada vetor. A magnitude de um vetor w = (w1, w2) é:
||w|| = raizw1^2 + w2^2
Calculando para u:
||u|| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5
E para v:
||v|| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v||u|| times ||v|| = 3raiz5 times raiz2 = 3raiz10 approx 0,9487
Agora, para achar o ângulo:
theta = arccos(0,9487) approx 18,43^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de aproximadamente 18,43^circ.

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