Determine o valor de m sabendo que as retas r1:lx=2 m t-3 y=3 t+1 e r2: x-2 y+1=0 são perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o valor de de forma que as retas e sejam perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a inclinação das retas e a condição de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas. A reta x = 2mt - 3 y = 3t + 1 está dada de maneira paramétrica:
x - 2y + 1 = 0
E a reta está na forma geral:

Passo 3

Para facilitar, vamos encontrar o coeficiente angular (inclinação) de cada reta. Para a reta m1 = coeficiente de ycoeficiente de x = 32m , que está em forma paramétrica, a inclinação é dada por:
Isso porque, na forma paramétrica, a inclinação é a razão entre os coeficientes que acompanham nas equações de e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta x - 2y + 1 = 0 implies -2y = -x -1 implies y = 12x + 12 . Para isso, reescrevemos a equação geral na forma de m2 = 12 :
Então, o coeficiente angular da reta é:

Passo 5

Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a m1 cdot m2 = -1 . Ou seja:
32m cdot 12 = -1
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar 34m = -1 implies 3 = -4m implies m = -34 :

Resposta

O valor de é .

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