Determine o ângulo entre os vetores u=(2,1,-5) e v=(5,0,2) e diga se eles são ou não ortogonais e porque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ângulo entre os vetores u=(2,1,-5) e v=(5,0,2). Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma dos vetores da álgebra vetorial. Além disso, vamos verificar se esses vetores são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
u cdot v = 2 times 5 + 1 times 0 + (-5) times 2 = 10 + 0 - 10 = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor a = (a1, a2, a3) é dada por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Calculando para u:
|u| = raiz2^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz4 + 1 + 25 = raiz30 approx 5,477
E para v:
|v| = raiz5^2 + 0^2 + 2^2 = raiz25 + 0 + 4 = raiz29 approx 5,385

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre eles usando a fórmula:
costheta = u cdot v|u| |v|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 05,477 times 5,385 = 0

Passo 5

Agora, para descobrir o ângulo theta, usamos o arco cosseno:
theta = arccos(0) = 90^circ

Passo 6

Finalmente, como o ângulo entre os vetores é 90^circ, isso significa que os vetores são ortogonais, ou seja, são perpendiculares entre si.

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é de 90^circ. Portanto, os vetores são ortogonais.

Exercícios relacionados