Determine o ângulo entre os vetores e e diga se eles são ou não ortogonais e porque.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma dos vetores da álgebra vetorial. Além disso, vamos verificar se esses vetores são ortogonais, ou seja, se formam um ângulo de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de cada vetor. A norma de um vetor é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores, podemos encontrar o cosseno do ângulo entre eles usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, para descobrir o ângulo , usamos o arco cosseno:

Passo 6

Finalmente, como o ângulo entre os vetores é , isso significa que os vetores são ortogonais, ou seja, são perpendiculares entre si.

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de . Portanto, os vetores são ortogonais.

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