Uma loja vende um certo componente eletrônico que é fabricado por 3 marcas diferentes ( a, b e c). Foi feito um levantamento sobre as vendas desse componente durante 3 dias consecutivos que revelou que:
a) No primeiro dia, foram vendidos 2 componentes da marca a, 1 componente da marca b e 1 da marca c, num total de R$ 150,00 vendidos;
b) No segundo dia, foram vendidos 4 componentes de a. 3 da marca b e nenhum da marca c, totalizando R 150,00 vendidos; b) No segundo dia, foram vendidos 4 componentes de a 3 da marca b e nenhum da marca c, totalizando R ;
c) No terceiro dia, não houve vendas da marca a, foram vendidos 5 de b e 3 de c, totalizando 240,00.
Construa o sistema linear e encontre o valor do componente produzido por a, b e c. Fique a vontade para escolher o método de resolução de sua preferência dentre os estudados, mas uma dica é usar a Regra de Cramer.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma loja que vende componentes eletrônicos de três marcas diferentes: a, b e c. Foram registrados os números de vendas e o total de dinheiro arrecadado durante três dias. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto custa cada componente dessas marcas. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações lineares e resolver para encontrar os preços de cada marca.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que representam o preço de cada componente:
  • Seja o preço do componente da marca a.
  • Seja o preço do componente da marca b.
  • Seja o preço do componente da marca c.

Passo 3

Agora, vamos traduzir as informações de cada dia em equações matemáticas usando essas variáveis.

Dia 1:

Foram vendidos 2 componentes de a, 1 de b e 1 de c, totalizando R$150,00.
Isso fica assim:
150,00 Isso fica assim: [ 2a + 1b + 1c = 150 ] ### Dia 2: Foram vendidos 4 componentes de **a**, 3 de **b** e nenhum de **c**, totalizando R

Dia 2:

Foram vendidos 4 componentes de a, 3 de b e nenhum de c, totalizando R$240,00.
4a + 3b + 0c = 240

Dia 3:

Não houve vendas de a, foram vendidos 5 de b e 3 de c, totalizando R$350,00.
0a + 5b + 3c = 350

Passo 4

Agora que temos as três equações, vamos organizar isso em um sistema linear:
2a + b + c = 150 4a + 3b = 240 5b + 3c = 350

Passo 5

Vamos resolver esse sistema usando a Regra de Cramer, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares usando determinantes. Primeiro, precisamos montar a matriz dos coeficientes e os determinantes necessários.
A matriz dos coeficientes é:
2 & 1 & 1 4 & 3 & 0 0 & 5 & 3

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz principal ( D = 2 & 1 & 1 4 & 3 & 0 0 & 5 & 3 ):
D = 2(3 cdot 3 - 0 cdot 5) - 1(4 cdot 3 - 0 cdot 0) + 1(4 cdot 5 - 3 cdot 0) = 2(9) - 1(12) + 1(20) = 18 - 12 + 20 = 26
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos calcular os determinantes Da = 150 & 1 & 1 240 & 3 & 0 350 & 5 & 3 , Da = 150(3 cdot 3 - 0 cdot 5) - 1(240 cdot 3 - 0 cdot 350) + 1(240 cdot 5 - 3 cdot 350) = 150(9) - 1(720) + 1(1200 - 1050) = 1350 - 720 + 150 = 780 e Db = 2 & 150 & 1 4 & 240 & 0 0 & 350 & 3 substituindo a coluna correspondente pelas constantes.

Determinante Db = 2(240 cdot 3 - 0 cdot 350) - 150(4 cdot 3 - 0 cdot 0) + 1(4 cdot 350 - 240 cdot 0) = 2(720) - 150(12) + 1(1400) = 1440 - 1800 + 1400 = 1040 (substituindo a coluna de a por [150, 240, 350]):

Dc = 2 & 1 & 150 4 & 3 & 240 0 & 5 & 350
Calculando:
Dc = 2(3 cdot 350 - 240 cdot 5) - 1(4 cdot 350 - 240 cdot 0) + 150(4 cdot 5 - 3 cdot 0) = 2(1050 - 1200) - 1(1400) + 150(20) = 2(-150) - 1400 + 3000 = -300 - 1400 + 3000 = 1300

Determinante (substituindo a coluna de b por [150, 240, 350]):

Calculando:

Determinante (substituindo a coluna de c por [150, 240, 350]):

Calculando:

Passo 8

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar os valores de a, b e c:
a = DaD = 78026 = 30
b = DbD = 104026 = 40
c = DcD = 130026 = 50

Resposta

O preço de cada componente é:
  • Marca a: R$ 30,00
  • Marca b: R$ 40,00
  • Marca c: R$ 50,00

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