Determine o ângulo entre os vetores u e v (valor aproximado ) u=(3,-1,5), v=(-2,4,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o ângulo entre os vetores u = (3, -1, 5) e v = (-2, 4, 3). A gente vai usar conceitos de álgebra vetorial, como produto escalar e módulo dos vetores, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
u cdot v = (3)(-2) + (-1)(4) + (5)(3)
Fazendo as contas:
u cdot v = -6 - 4 + 15 = 5

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo de cada vetor. O módulo de um vetor a = (a1, a2, a3) é dado por:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2
Vamos calcular para u:
|u| = raiz3^2 + (-1)^2 + 5^2 = raiz9 + 1 + 25 = raiz35 approx 5,916
E para v:
|v| = raiz(-2)^2 + 4^2 + 3^2 = raiz4 + 16 + 9 = raiz29 approx 5,385

Passo 4

Com o produto escalar e os módulos dos vetores em mãos, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre eles:
costheta = u cdot v|u| , |v|
Substituindo os valores:
costheta = 55,916 times 5,385 approx 531,873 approx 0,157

Passo 5

Por fim, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco-cosseno:
theta = arccos(0,157) approx 81°

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 81^circ.

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