Determine a projeção de v sobre u u=(1, 1, 1), v=(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção do vetor v sobre o vetor u. Aqui, estamos trabalhando com vetores em espaço tridimensional, e vamos usar um pouco de álgebra vetorial para resolver. Para isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em outro, utilizando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da projeção de v sobre u:
proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, o símbolo “⋅” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre v e u. Os vetores são:
u = (1, 1, 1)
v = (1, -1, 1)
O produto escalar é:
v cdot u = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de u consigo mesmo:
u cdot u = (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Com esses valores, vamos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( 13 ) u = 13 (1, 1, 1) = ( 13, 13, 13 )

Resposta

A projeção de v sobre u é .

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