Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U oplus V. Todo vetor w in W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U e v in V). Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:
© P1 circ P2=P2 circ P1=0 (operador nulo de W).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e projeções. A gente tem dois subespaços e dentro de , e é a soma direta desses dois, ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito de forma única como , onde está em e está em . As projeções e pegam e retornam e , respectivamente. A gente precisa mostrar que a composição dessas projeções dá o operador nulo, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma composição de funções. Se temos duas funções e , a composição significa aplicar primeiro e depois . No nosso caso, significa aplicar e depois .

Passo 3

Vamos pegar um vetor qualquer . Como , podemos escrever , onde e .

Passo 4

Aplicando P2(w) = v em P1(P2(w)) = P1(v) , temos:
Agora, vamos aplicar no resultado:

Passo 5

Mas P1(v) = 0 está em , e é a projeção em . Como e são subespaços complementares, e são únicos e não tem componente em . Portanto:
Então, para todo .

Passo 6

De forma similar, vamos ver P1(w) = u . Aplicando P2(P1(w)) = P2(u) em :
Agora, aplicamos :

Passo 7

Como P2(u) = 0 está em e projeta em , que é complementar a , não tem componente em . Assim:
Portanto, para todo .

Resposta

Demonstramos que , ou seja, a composição das projeções resulta no operador nulo de .

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