Sejam
sub-espaços do espaço
tais que
. Todo vetor
se escreve, de maneira única, da seguinte forma:
. Sendo
e
as projeções dadas por
e
, mostrar que:
©
(operador nulo de W).
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O enunciado fala sobre espaços vetoriais e projeções. A gente tem dois subespaços
e
dentro de
, e
é a soma direta desses dois, ou seja, qualquer vetor
em
pode ser escrito de forma única como
, onde
está em
e
está em
. As projeções
e
pegam
e retornam
e
, respectivamente. A gente precisa mostrar que a composição dessas projeções dá o operador nulo, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma composição de funções. Se temos duas funções
e
, a composição
significa aplicar
primeiro e depois
. No nosso caso,
significa aplicar
e depois
.
Passo 3
Vamos pegar um vetor qualquer
. Como
, podemos escrever
, onde
e
.
Passo 4
Aplicando
em
, temos:
Agora, vamos aplicar
no resultado:
Passo 5
Mas
está em
, e
é a projeção em
. Como
e
são subespaços complementares,
e
são únicos e
não tem componente em
. Portanto:
Então,
para todo
.
Passo 6
De forma similar, vamos ver
. Aplicando
em
:
Agora, aplicamos
:
Passo 7
Como
está em
e
projeta em
, que é complementar a
,
não tem componente em
. Assim:
Portanto,
para todo
.
Resposta
Demonstramos que
, ou seja, a composição das projeções resulta no operador nulo de
.