Determine o ângulo entre os vetores u e v (valor aproximado ) u=(-8,6), v=(raiz7, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre os vetores u = (-8, 6) e v = (raiz7, 3). A gente vai precisar usar o conceito de produto escalar e norma dos vetores para calcular esse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é calculado assim:
u cdot v = u1 cdot v1 + u2 cdot v2
Esse produto vai nos ajudar a encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v:
u cdot v = (-8) cdot raiz7 + 6 cdot 3 = -8raiz7 + 18

Passo 4

Agora, precisamos calcular a norma (ou comprimento) de cada vetor. A norma de um vetor u = (u1, u2) é dada por:
||u|| = raizu1^2 + u2^2
Vamos calcular as normas dos vetores u e v:
Para u:
||u|| = raiz(-8)^2 + 6^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10
Para v:
||v|| = raiz(raiz7)^2 + 3^2 = raiz7 + 9 = raiz16 = 4

Passo 5

Com o produto escalar e as normas, a gente usa a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo ( costheta) entre os vetores:
costheta = u cdot v||u|| cdot ||v||
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = -8raiz7 + 1810 cdot 4 = -8raiz7 + 1840

Passo 6

Agora, para achar o ângulo theta, vamos usar a função arco cosseno (ou inversa do cosseno):
theta = arccos( -8raiz7 + 1840 )
Vamos calcular esse valor aproximado:
-8raiz7 + 1840 approx -21.166 + 1840 = -3.16640 approx -0.079
Então:
theta approx arccos(-0.079) approx 94.56^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u e v é aproximadamente 94,56^circ.

Exercícios relacionados