Seja
uma base do espaço vetorial
e seja
onde
. Provar que
é uma base de
e calcular a matriz de mudança de B para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
com uma base
. Foi definido um novo conjunto
, onde cada vetor
é igual a
. O desafio aqui é provar que
também é uma base para
e descobrir a matriz que faz a transição da base
para a base
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, como provar que um conjunto de vetores forma uma base e como construir a matriz de mudança de base usando coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso,
já é uma base de
, então sabemos que:
- Os vetores de
são linearmente independentes. - Qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
Como queremos provar que
também é uma base, precisamos mostrar que
satisfaz essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos olhar para os vetores em
. Cada
é definido como
. Isso significa que estamos basicamente pegando os vetores de
e invertendo a ordem deles. Por exemplo, se
, então
.
Como a base
tem
vetores e
também tem
vetores, precisamos verificar se os vetores de
são linearmente independentes e se eles geram
.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a independência linear de
. Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de
que resulte no vetor zero:
Substituindo
, temos:
Como
é uma base e, portanto, seus vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é
. Isso mostra que os vetores de
são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
gera
. Sabemos que
gera
, então qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
. Como
contém exatamente os mesmos vetores que
, mas em ordem invertida, qualquer combinação linear dos vetores de
também pode gerar qualquer vetor em
. Portanto,
gera
.
Passo 6
Como
tem
vetores, que estão linearmente independentes e geram
, concluímos que
é de fato uma base de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a matriz de mudança de base de
para
. A matriz de mudança de base, digamos
, é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de
na base
.
Como
, cada vetor
em
corresponde a um vetor da base
com um único 1 na posição invertida.
Por exemplo, o primeiro vetor
tem coordenadas
na base
. O segundo vetor
tem coordenadas
, e assim por diante, até
que tem coordenadas
.
Passo 8
Organizando essas coordenadas em colunas, a matriz de mudança de base
será uma matriz de permutação que inverte a ordem das colunas da matriz identidade. Assim,
será:
Resposta
Portanto,
é uma base de
e a matriz de mudança de base de
para
é a matriz de permutação que inverte a ordem das colunas da matriz identidade, conforme mostrado acima.