Seja B=u1, ldots, un uma base do espaço vetorial V e seja C=v1, ldots, vn onde vi=un-i+1(i=1, ldots, n). Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com uma base . Foi definido um novo conjunto , onde cada vetor é igual a . O desafio aqui é provar que também é uma base para e descobrir a matriz que faz a transição da base para a base . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base, como provar que um conjunto de vetores forma uma base e como construir a matriz de mudança de base usando coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso, já é uma base de , então sabemos que:
  1. Os vetores de são linearmente independentes.
  2. Qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
Como queremos provar que também é uma base, precisamos mostrar que satisfaz essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos olhar para os vetores em . Cada é definido como . Isso significa que estamos basicamente pegando os vetores de e invertendo a ordem deles. Por exemplo, se , então .
Como a base tem vetores e também tem vetores, precisamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e se eles geram .

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a independência linear de a1v1 + a2v2 + ldots + anvn = 0 . Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de a1un + a2un-1 + ldots + anu1 = 0 que resulte no vetor zero:
Substituindo , temos:
Como é uma base e, portanto, seus vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é . Isso mostra que os vetores de são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se gera . Sabemos que gera , então qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de . Como contém exatamente os mesmos vetores que , mas em ordem invertida, qualquer combinação linear dos vetores de também pode gerar qualquer vetor em . Portanto, gera .

Passo 6

Como tem vetores, que estão linearmente independentes e geram , concluímos que é de fato uma base de .

Passo 7

Agora, vamos calcular a matriz de mudança de base de para . A matriz de mudança de base, digamos , é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de na base .
Como , cada vetor em corresponde a um vetor da base com um único 1 na posição invertida.
Por exemplo, o primeiro vetor tem coordenadas na base . O segundo vetor tem coordenadas , e assim por diante, até que tem coordenadas .

Passo 8

Organizando essas coordenadas em colunas, a matriz de mudança de base PB to C = 0 & 0 & ldots & 0 & 1 0 & 0 & ldots & 1 & 0 vdots & vdots & iddots & vdots & vdots 0 & 1 & ldots & 0 & 0 1 & 0 & ldots & 0 & 0 será uma matriz de permutação que inverte a ordem das colunas da matriz identidade. Assim, será:

Resposta

Portanto, é uma base de e a matriz de mudança de base de para é a matriz de permutação que inverte a ordem das colunas da matriz identidade, conforme mostrado acima.

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