Determine o produto escalar u cdot v se |u|=3,|v|=raiz6, e o ângulo entre eles é 45^circ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o produto escalar entre dois vetores, u e v. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Vetorial, mais especificamente o produto escalar (também conhecido como produto interno). Para resolver isso, vamos precisar das magnitudes dos vetores e do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do produto escalar quando a gente conhece as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles. A fórmula é:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
Aqui, |u| e |v| são os comprimentos (módulos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos substituir os valores que foram dados no problema na fórmula. Temos:
  • |u| = 3
  • |v| = raiz6
  • theta = 45^circ
Então, substituindo na fórmula:
u cdot v = 3 times raiz6 times cos(45^circ)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o cosseno de 45 graus. Sabemos que:
cos(45^circ) = raiz22
Substituindo esse valor na equação:
u cdot v = 3 times raiz6 times raiz22

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
3 times raiz6 times raiz22 = 3 times raiz6 times raiz22 = 3 times raiz122
Sabendo que raiz12 = 2raiz3:
3 times 2raiz32 = 3raiz3

Resposta

O produto escalar u cdot v é igual a 3raiz3.

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