Sejam F, G in L(R^3) assim definidos:
F(x, y, z)=(x+y, z+y, z) e G(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
Determinar:
a) F circ G;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções lineares e definidas em , ou seja, que recebem um tripla de números reais e devolvem outra tripla. Queremos encontrar a compostagem dessas funções, ou seja, . Para isso, precisamos entender como cada função atua e como elas se combinam. A matéria aqui é sobre transformação linear e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas funções F(x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) :
A gente quer calcular , que significa aplicar primeiro e depois no resultado de .

Passo 3

Vamos começar aplicando G(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) em um vetor qualquer :
Então, o resultado de é o vetor .

Passo 4

Agora, vamos aplicar F(G(x, y, z)) = F(x + 2y, y - z, x + 2z) nesse resultado. Ou seja, substituímos F(x + 2y, y - z, x + 2z) = ( (x + 2y) + (y - z), (x + 2z) + (y - z), x + 2z ) na função pelos componentes que obteve de :
Aplicando nessa nova tripla:

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
  1. Primeiro componente:
(x + 2y) + (y - z) = x + 3y - z
  1. Segundo componente:
(x + 2z) + (y - z) = x + y + z
  1. Terceiro componente permanece:
x + 2z

Passo 6

Então, juntando tudo, temos:
F circ G(x, y, z) = (x + 3y - z, x + y + z, x + 2z)

Resposta

A composição F circ G(x, y, z) = ( x + 3y - z, x + y + z, x + 2z ) é dada por:

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