Determine os ângulos formados entre P=-160 imath+40 jmath+60 k N, na extremidade da haste, e (a) o eixo x positivo. [Resposta: theta x=155.7^circ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ângulo formado entre o vetor P = -160 imath + 40 jmath + 60 k , N e o eixo x positivo. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para isso, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona vetores e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores A e B é dado por:
A cdot B = |A| , |B| costheta
onde theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

No nosso caso, queremos o ângulo entre o vetor P e o eixo x positivo. O eixo x positivo pode ser representado pelo vetor unitário imath = 1, 0, 0. Então, o vetor B é imath.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre P e imath:
P cdot imath = (-160)(1) + (40)(0) + (60)(0) = -160

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo do vetor P:
|P| = raiz(-160)^2 + 40^2 + 60^2 = raiz25600 + 1600 + 3600 = raiz30800 approx 175.3 , N

Passo 6

Sabemos que o módulo de imath é 1. Então, podemos reorganizar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo theta:
costheta = P cdot imath|P| , |imath| = -160175.3 times 1 approx -0.913

Passo 7

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de -0.913:
theta = arccos(-0.913) approx 155.7^circ

Resposta

O ângulo formado entre o vetor P e o eixo x positivo é thetax = 155.7^circ.

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