A magnitude da força vertical W é 160 N . Os cossenos diretores do vetor de posição de A para B são cos thetax=0,500, cos thetay= 0,866 e cos thetaz=0, e os cossenos diretores do vetor de posição de B para C são cos thetax=0,707, cos thetay=0,619 e cos thetaz=0,342. O ponto G é o ponto médio da linha de B a C . Determine o momento exercido pelo braço robótico em A para sustentar o peso W. [Resposta: : MA= -16,4 imath-82 k N cdot m]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um braço robótico que está sustentando um peso vertical de 160 N no ponto G, que é o meio da linha entre os pontos B e C. A gente precisa calcular o momento que esse braço está exercendo no ponto A para segurar esse peso. Para isso, vamos usar conceitos de vetores de posição e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos A, B e C usando os cossenos diretores fornecidos. Os cossenos diretores nos ajudam a entender a direção dos vetores de posição entre os pontos.

Passo 3

Vamos considerar que o ponto A está na origem (0, 0, 0). Então, usando os cossenos diretores do vetor de A para B:
cos thetax = 0,500, cos thetay = 0,866, cos thetaz = 0
Isso nos dá o vetor de posição de A para B como:
AB = 0,500 cdot r, 0,866 cdot r, 0
Onde é a magnitude do vetor AB. Mas como não temos o valor de , vamos considerar apenas as direções para simplificar.

Passo 4

Agora, vamos para o vetor de B para C, com os cossenos diretores:
cos thetax = 0,707, cos thetay = 0,619, cos thetaz = 0,342
Assim, o vetor de B para C é:
BC = 0,707 cdot s, 0,619 cdot s, 0,342 cdot s
Onde é a magnitude do vetor BC.

Passo 5

Como G é o ponto médio entre B e C, podemos encontrar o vetor de A para G somando o vetor de A para B e metade do vetor de B para C:
AG = AB + 12BC
Substituindo os vetores que encontramos:
AG = 0,500r + 0,5 cdot 0,707s, 0,866r + 0,5 cdot 0,619s, 0 + 0,5 cdot 0,342s

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento MA = AG times W usando o produto vetorial entre o vetor de posição e a força :
Sabendo que N (pois a força é vertical para baixo).

Passo 7

Fazendo o produto vetorial, temos:
MA = | ccc imath & jmath & k 0,500r + 0,3535s & 0,866r + 0,3095s & 0,171s 0 & 0 & -160 |
Simplificando:
MA = (0,863r + 0,619s)(-160) - (0,171s)(0) imath - (0,500r + 0,3535s)(-160) - (0,171s)(0) jmath + (0,500r + 0,3535s)(0) - (0,866r + 0,3095s)(0) k
Como os termos em MA = -16,4 imath -82 k , N cdot m e se simplificam, ficamos com:

Resposta

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