A magnitude da força vertical W é 160 N . Os cossenos diretores do vetor de posição de A para B são 0,866 e , e os cossenos diretores do vetor de posição de para são , e . O ponto G é o ponto médio da linha de B a C . Determine o momento exercido pelo braço robótico em A para sustentar o peso . [Resposta: :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um braço robótico que está sustentando um peso vertical de 160 N no ponto G, que é o meio da linha entre os pontos B e C. A gente precisa calcular o momento que esse braço está exercendo no ponto A para segurar esse peso. Para isso, vamos usar conceitos de vetores de posição e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos A, B e C usando os cossenos diretores fornecidos. Os cossenos diretores nos ajudam a entender a direção dos vetores de posição entre os pontos.

Passo 3

Vamos considerar que o ponto A está na origem (0, 0, 0). Então, usando os cossenos diretores do vetor de A para B:
Isso nos dá o vetor de posição de A para B como:
Onde é a magnitude do vetor AB. Mas como não temos o valor de , vamos considerar apenas as direções para simplificar.

Passo 4

Agora, vamos para o vetor de B para C, com os cossenos diretores:
Assim, o vetor de B para C é:
Onde é a magnitude do vetor BC.

Passo 5

Como G é o ponto médio entre B e C, podemos encontrar o vetor de A para G somando o vetor de A para B e metade do vetor de B para C:
Substituindo os vetores que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento usando o produto vetorial entre o vetor de posição e a força :
Sabendo que N (pois a força é vertical para baixo).

Passo 7

Fazendo o produto vetorial, temos:
Simplificando:
Como os termos em e se simplificam, ficamos com:

Resposta

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