Determine os ângulos formados entre P=-160 imath+40 jmath+60 k N, na extremidade da haste, e (b) o plano (x, z). [Resposta: theta xz=13.17^circ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos o vetor força P = -160 imath + 40 jmath + 60 k , N aplicado na extremidade de uma haste. O objetivo é determinar o ângulo que esse vetor forma com o plano (x, z). Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de vetores, magnitude de vetores e a relação entre vetores e planos.

Passo 2

Para encontrar o ângulo entre o vetor P e o plano (x, z), primeiro identificamos a normal desse plano. O plano (x, z) tem como vetor normal o vetor jmath, que aponta na direção do eixo y.

Passo 3

Em seguida, calculamos o ângulo entre o vetor P e a normal do plano. A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores é dada por:
cos(theta) = P cdot N|P| cdot |N|
Onde:
  • N é o vetor normal ao plano, neste caso, jmath.
  • P cdot N é o produto escalar entre P e N.
  • |P| e |N| são as magnitudes dos vetores P e N, respectivamente.

Passo 4

Calculando o produto escalar:
P cdot N = (-160)(0) + (40)(1) + (60)(0) = 40
Calculando a magnitude de P:
|P| = raiz(-160)^2 + 40^2 + 60^2 = raiz25600 + 1600 + 3600 = raiz30800 approx 175.26 , N
A magnitude de N é 1, já que jmath é um vetor unitário.
Agora, calculamos o ângulo theta:
cos(theta) = 40175.26 times 1 approx 0.2284
theta approx arccos(0.2284) approx 77^circ

Passo 5

O ângulo entre o vetor P e o plano (x, z) é o complemento de theta, ou seja:
thetaxz = 90^circ - 77^circ = 13^circ

Resposta

thetaxz = 13.17^circ

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