Determine as antiderivadas das funções abaixo: f(x) = 4 x^3 - 3 x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as antiderivadas da função . Isso significa que vamos integrar essa função para descobrir todas as possíveis primitivas dela. Para isso, vamos usar as regras básicas de integração de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a antiderivada de uma função é, basicamente, o processo reverso da derivada. Ou seja, se você tem uma função e quer encontrar sua antiderivada, você vai integrar cada termo dessa função. A regra geral para integrar onde é diferente de -1 é:
Aqui, é a constante de integração que sempre colocamos porque há infinitas antiderivadas para uma função.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro termo: .
Aplicando a regra de integração:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo: .
Usando a mesma regra:

Passo 5

Por último, integramos o termo constante: .
A integral de uma constante é:
Aplicando isso:

Resposta

Juntando todas as antiderivadas que encontramos:
Onde é a constante de integração.

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