Determine as antiderivadas das funções abaixo: f(x) = sec^2(3x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a antiderivada da função . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente antiderivadas de funções trigonométricas. Vamos precisar lembrar como integrar funções trigonométricas e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a antiderivada de em relação a é , pois a derivada de é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a substituição para lidar com o argumento . Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Agora, sabemos que , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original , já que :

Resposta

Uma antiderivada de é , onde é a constante de integração.

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