Determine uma aproximação linear para (1 + 2x)^(-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma aproximação linear para a expressão . Isso está relacionado ao desenvolvimento de funções usando aproximações simples, conhecidas como aproximação linear ou linearização. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a aproximar funções por retas em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto a onde faremos a aproximação. Geralmente, escolhemos porque simplifica os cálculos. Assim, queremos aproximar perto de x = 0.

Passo 3

A fórmula da aproximação linear de uma função f(x) perto de é:
Como escolhemos , simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos identificar nossa função f(x). Aqui,
Vamos calcular f(0):

Passo 5

Depois, precisamos encontrar a derivada de f(x), ou seja, . Usamos a regra da cadeia para derivar :
Agora, calculamos :

Passo 6

Agora que temos e , podemos montar a aproximação linear:

Resposta

A aproximação linear para é .

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