Determine uma aproximação linear para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma aproximação linear para a expressão
. Isso está relacionado ao desenvolvimento de funções usando aproximações simples, conhecidas como aproximação linear ou linearização. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a aproximar funções por retas em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um ponto a onde faremos a aproximação. Geralmente, escolhemos
porque simplifica os cálculos. Assim, queremos aproximar
perto de
.
Passo 3
A fórmula da aproximação linear de uma função
perto de
é:
Como escolhemos
, simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos identificar nossa função
. Aqui,
Vamos calcular
:
Passo 5
Depois, precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
. Usamos a regra da cadeia para derivar
:
Agora, calculamos
:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos montar a aproximação linear:
Resposta
A aproximação linear para
é
.