Use a regra da cadeia para determinar d/z dt ou d w / d t. w = 2 y e^x - ln z, x = ln(t^2 + 1), y = arctan t, z = e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a regra da cadeia, que é uma técnica de cálculo para derivar funções compostas. Aqui, queremos encontrar a derivada de ou em relação a . As funções que temos são:
Vamos precisar usar derivadas básicas, a regra da cadeia e conhecer as derivadas de funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decidir qual derivada calcular. Vamos encontrar . Para isso, precisamos derivar cada parte de em relação a .

Passo 3

Vamos reescrever em termos de :
Substituindo , e :
Sabemos que e , então simplificamos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário:
Aplicando a regra do produto para :
Sabemos que e , então:
Simplificando :

Resposta

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