Seja
o conjunto das funções y satisfazendo a equação
(a) Mostre que o conjunto
é não vazio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
das funções
que satisfazem a equação diferencial
não está vazio. Ou seja, precisamos encontrar pelo menos uma função
que resolve essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fatores integrantes. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, temos:
Dividindo todos os termos por 2 para isolar
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que permite a aplicação da regra do produto para derivadas, simplificando a resolução.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso significa que a derivada desse produto é zero, o que implica que o produto é constante.
Passo 6
Integrando ambos os lados da equação em relação a
:
Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
Portanto, o conjunto
contém todas as funções da forma
, onde
é uma constante real. Assim,
não está vazio.