Seja S o conjunto das funções y satisfazendo a equação
2 d yd x+3 y=0
(a) Mostre que o conjunto S é não vazio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto 2 dydx + 3y = 0 das funções que satisfazem a equação diferencial
não está vazio. Ou seja, precisamos encontrar pelo menos uma função que resolve essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de primeira ordem e fatores integrantes. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação diferencial para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos:
2 dydx + 3y = 0
Dividindo todos os termos por 2 para isolar dydx + 32y = 0 :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral 32 dx = e^32x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^32x dydx + e^32x cdot 32y = 0 :
Isso transforma a equação em uma forma que permite a aplicação da regra do produto para derivadas, simplificando a resolução.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddx ( e^32x y ) = 0 :
Isso significa que a derivada desse produto é zero, o que implica que o produto é constante.

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação em relação a integral ddx ( e^32x y ) dx = integral 0 , dx :
e^32x y = C
Assim, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para y = C e^-32x :
y(x) = C e^-32x
Então, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

Portanto, o conjunto contém todas as funções da forma , onde é uma constante real. Assim, não está vazio.

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