Expresse a integral em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e precisa transformá-la para coordenadas esféricas para facilitar o cálculo. O conteúdo envolve cálculo multivariado, especificamente mudança de variáveis e integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As integrais indicam que varia de 0 a 1, de 0 a e de 0 a . Isso descreve o primeiro octante de uma esfera de raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, as variáveis são (raio), (ângulo azimutal) e (ângulo polar). As relações são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Podemos separar as integrais:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando os resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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