Expresse a integral integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^raiz1-x^2-y^2 d z d y d x1+x^2+y^2+z^2 em coordenadas esféricas e calcule a integral obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas e precisa transformá-la para coordenadas esféricas para facilitar o cálculo. O conteúdo envolve cálculo multivariado, especificamente mudança de variáveis e integração em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. As integrais indicam que varia de 0 a 1, de 0 a e de 0 a . Isso descreve o primeiro octante de uma esfera de raio 1.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, as variáveis são x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi (raio), dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta (ângulo azimutal) e (ângulo polar). As relações são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 11 + r^2 cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta
Podemos separar as integrais:
( integral0^pi2 dtheta ) ( integral0^pi2 sinphi , dphi ) ( integral0^1 r^21 + r^2 , dr )

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente:
  1. Integral em integral0^pi2 dtheta = pi2 :
integral0^pi2 sinphi , dphi = 1
  1. Integral em integral0^1 r^21 + r^2 , dr = integral0^1 (1 - 11 + r^2) dr = [ r - arctan r ]0^1 = 1 - pi4 :
pi2 times 1 times (1 - pi4) = pi2 - pi^28
  1. Integral em :
Multiplicando os resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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