Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área entre as curvas e . Aqui, estamos trabalhando com equações em coordenadas polares, que descrevem curvas no plano usando um ângulo e uma distância do ponto à origem . Para resolver, vamos precisar identificar onde as curvas se intersectam e então calcular a área compreendida entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando os valores de são iguais para o mesmo . Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação :
Agora, vamos encontrar os valores de que satisfazem essa equação. Sabemos que a função cosseno é igual a nos ângulos e . Mas como estamos trabalhando em coordenadas polares, consideramos apenas o intervalo de a .
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração para calcular a área. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui, é a curva mais distante da origem e é a mais próxima, entre e .
Passo 5
Identificando qual curva é externa e qual é interna no intervalo de integração, observamos que é externa quando e é externa quando . Portanto, a área total é a soma das áreas em cada intervalo correspondente.
Calculando a integral:
Simplificando:
Usando identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:
Simplificando mais:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites:
Calculando os valores numéricos:
Á
Resposta
A área entre as curvas e é aproximadamente unidades de área.