Determine a área entre as curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área entre as curvas e . Aqui, estamos trabalhando com equações em coordenadas polares, que descrevem curvas no plano usando um ângulo e uma distância do ponto à origem . Para resolver, vamos precisar identificar onde as curvas se intersectam e então calcular a área compreendida entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando os valores de são iguais para o mesmo . Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação :
Agora, vamos encontrar os valores de que satisfazem essa equação. Sabemos que a função cosseno é igual a nos ângulos e . Mas como estamos trabalhando em coordenadas polares, consideramos apenas o intervalo de a .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, podemos determinar os limites de integração para calcular a área. A fórmula para a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Á
Aqui, é a curva mais distante da origem e é a mais próxima, entre e .

Passo 5

Identificando qual curva é externa e qual é interna no intervalo de integração, observamos que é externa quando e é externa quando . Portanto, a área total é a soma das áreas em cada intervalo correspondente.
Calculando a integral:
Á
Simplificando:
Á
Usando identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:
Á
Simplificando mais:
Á
Integrando termo a termo:
Á
Substituindo os limites:
Á
Calculando os valores numéricos:
Á
Á

Resposta

A área entre as curvas e é aproximadamente unidades de área.

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Utilize o teste de comparação para analisar a série .
Use o teste da integral para analisar a série .
Determine o limite da sequência .
(1.0) Encontre o limite: