Utilize o teste de comparação para analisar a série sumn=1^infty 3 n+1n^3+n^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos que usar o teste de comparação para analisar a série sumn=1^infty 3n + 1n^3 + n^2. Ou seja, precisamos determinar se essa série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. Para isso, vamos lembrar como funciona o teste de comparação e escolher uma série adequada para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a comparação. Observamos o termo 3n + 1n^3 + n^2. Podemos dividir o numerador e o denominador por n^3 para simplificar:
3n + 1n^3 + n^2 = 3nn^3 + 1n^3n^3n^3 + n^2n^3 = 3n^2 + 1n^31 + 1n
Quando n fica bem grande, os termos 3n^2 e 1n^3 ficam muito pequenos, quase zero. Então, podemos aproximar o termo geral assim:
3n + 1n^3 + n^2 approx 3n^2

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. A série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p-aditiva, onde p=2. Sabemos que séries p-aditivas convergem quando p > 1. Como nosso termo simplificado é 3n^2, que é basicamente uma constante multiplicando 1n^2, podemos usar essa série para comparar.

Passo 4

O próximo passo é aplicar o teste de comparação. Vamos comparar os termos das duas séries:
0 <= 3n + 1n^3 + n^2 <= 3n^2
Como 3n^2 é a nossa série de comparação e sabemos que ela converge, então, pela comparação direta, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3n + 1n^3 + n^2 converge pelo teste de comparação.

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