Utilize o teste de comparação para analisar a série
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos pedindo. Temos que usar o teste de comparação para analisar a série
. Ou seja, precisamos determinar se essa série converge ou diverge comparando-a com outra série que já sabemos o comportamento. Para isso, vamos lembrar como funciona o teste de comparação e escolher uma série adequada para comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar a comparação. Observamos o termo
. Podemos dividir o numerador e o denominador por
para simplificar:
Quando
fica bem grande, os termos
e
ficam muito pequenos, quase zero. Então, podemos aproximar o termo geral assim:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série com a qual possamos comparar. A série
é uma série p-aditiva, onde
. Sabemos que séries p-aditivas convergem quando
. Como nosso termo simplificado é
, que é basicamente uma constante multiplicando
, podemos usar essa série para comparar.
Passo 4
O próximo passo é aplicar o teste de comparação. Vamos comparar os termos das duas séries:
Como
é a nossa série de comparação e sabemos que ela converge, então, pela comparação direta, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste de comparação.