Determine o limite da sequência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de limites de sequências. Aqui, a gente precisa encontrar o limite da sequência
quando
se aproxima do infinito. Para isso, vamos analisar como os termos do numerador e do denominador se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da sequência representa:
- Numerador (
): Isso é uma função exponencial, onde 2 é elevado à potência de . As funções exponenciais crescem rapidamente conforme aumenta. - Denominador (
): Isso é o fatorial de , que significa . O fatorial também cresce muito rápido, ainda mais rápido que exponenciais para valores grandes de .
Passo 3
Agora, vamos comparar o crescimento de
e
:
- À medida que
aumenta, cresce exponencialmente. -
, por outro lado, cresce de forma super exponencial, ou seja, muito mais rápido que qualquer função exponencial.
Isso significa que, para valores grandes de
, o denominador
vai crescer muito mais rápido que o numerador
. Como resultado, a fração
vai ficar cada vez menor à medida que
aumenta.
Resposta
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.
Exercícios relacionados
Determine a área entre as curvas
e
.
Utilize o teste de comparação para analisar a série
.
(1.0) Encontre o limite:
Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas: