Use o teste da integral para analisar a série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer a gente analisar se a série
converge ou diverge usando o teste da integral. Basicamente, vamos comparar a soma da série com uma integral para ver se ela é finita ou não. Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries e integrais e como elas se relacionam no teste da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa os termos da série. No caso, temos
. No teste da integral, a gente olha para a função contínua, positiva e decrescente equivalente. Então, consideramos
para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Essa integral vai nos ajudar a determinar o comportamento da série.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Integrando
:
Passo 5
Aplicando os limites da integral:
Passo 6
Como a integral resultou em um valor finito,
, isso nos diz pelo teste da integral que a série
converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.
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Prove que a sequência
converge para zero.
Encontre a área entre as curvas
e
para
.
Utilize o teste de comparação para analisar a série
.
Determine a área entre as curvas
e
.