Use o teste da integral para analisar a série .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer a gente analisar se a série converge ou diverge usando o teste da integral. Basicamente, vamos comparar a soma da série com uma integral para ver se ela é finita ou não. Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries e integrais e como elas se relacionam no teste da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa os termos da série. No caso, temos . No teste da integral, a gente olha para a função contínua, positiva e decrescente equivalente. Então, consideramos para .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
Essa integral vai nos ajudar a determinar o comportamento da série.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Integrando :

Passo 5

Aplicando os limites da integral:

Passo 6

Como a integral resultou em um valor finito, , isso nos diz pelo teste da integral que a série converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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