Use o teste da integral para analisar a série sumn=1^infty 1n^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer a gente analisar se a série sumn=1^infty 1n^3 converge ou diverge usando o teste da integral. Basicamente, vamos comparar a soma da série com uma integral para ver se ela é finita ou não. Para isso, precisamos saber um pouco sobre séries e integrais e como elas se relacionam no teste da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa os termos da série. No caso, temos f(n) = 1n^3. No teste da integral, a gente olha para a função contínua, positiva e decrescente equivalente. Então, consideramos f(x) = 1x^3 para x >= 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral imprópria correspondente:
integral1^infty 1x^3 , dx
Essa integral vai nos ajudar a determinar o comportamento da série.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral1^infty 1x^3 , dx = limb to infty integral1^b x^-3 , dx
Integrando x^-3:
integral x^-3 , dx = x^-2-2 + C = -12x^2 + C

Passo 5

Aplicando os limites da integral:
limb to infty ( -12b^2 + 12 cdot 1^2 ) = 0 + 12 = 12

Passo 6

Como a integral resultou em um valor finito, 12, isso nos diz pelo teste da integral que a série sumn=1^infty 1n^3 converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^3 converge pelo teste da integral.

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