(1.0) Encontre o limite:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: , e , indo para os valores , e respectivamente. A função que a gente quer analisar é um vetor com três componentes:
Para resolver isso, a gente vai calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos precisar de conhecimentos de limites de funções múltiplas e de como lidar com expressões que podem dar indeterminações, como .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: .
Quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos na segunda componente: .
Aqui temos uma situação que pode dar uma indeterminação se simplesmente substituirmos . Para resolver isso, vamos simplificar a expressão. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite:
Quando e :

Passo 4

Por último, vamos na terceira componente: .
Aqui, a expressão é direta. Basta substituir os valores que , e estão se aproximando:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial é:

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Determine o limite da sequência .
Determine a área entre as curvas e .
Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Use o teste de comparação para verificar a convergência de .