(1.0) Encontre o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis:
,
e
, indo para os valores
,
e
respectivamente. A função que a gente quer analisar é um vetor com três componentes:
Para resolver isso, a gente vai calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos precisar de conhecimentos de limites de funções múltiplas e de como lidar com expressões que podem dar indeterminações, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente:
.
Quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
. Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos na segunda componente:
.
Aqui temos uma situação que pode dar uma indeterminação
se simplesmente substituirmos
. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite:
Quando
e
:
Passo 4
Por último, vamos na terceira componente:
.
Aqui, a expressão é direta. Basta substituir os valores que
,
e
estão se aproximando:
Resposta
Portanto, o limite da função vetorial é:
Exercícios relacionados
Determine o limite da sequência
.
Determine a área entre as curvas
e
.
Determine as regiões do plano ty nas quais as hipóteses do teorema de existência e unicidade de soluções de EDOs de primeira ordem são satisfeitas:
Use o teste de comparação para verificar a convergência de
.