(1.0) Encontre o limite:
lim (x, y, z) (1,2,1)(e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3 x y z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve três variáveis: (e^x-1, y(x-1)x^2-1, 3xyz) , e , indo para os valores , e respectivamente. A função que a gente quer analisar é um vetor com três componentes:
Para resolver isso, a gente vai calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos precisar de conhecimentos de limites de funções múltiplas e de como lidar com expressões que podem dar indeterminações, como .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: limx to 1 e^x-1 = e^0 = 1 .
Quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos na segunda componente: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) .
Aqui temos uma situação que pode dar uma indeterminação y(x-1)(x - 1)(x + 1) = yx + 1 se simplesmente substituirmos yx + 1 = 21 + 1 = 22 = 1 . Para resolver isso, vamos simplificar a expressão. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos calcular o limite:
Quando e :

Passo 4

Por último, vamos na terceira componente: 3xyz = 3 times 1 times 2 times 1 = 6 .
Aqui, a expressão é direta. Basta substituir os valores que , e estão se aproximando:

Resposta

Portanto, o limite da função vetorial é:
(1, 1, 6)

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