Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área exata da superfície no intervalo onde e . A matéria envolvida aqui é cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e depois montar a integral que nos dará a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície :
Á
Onde é a região sobre a qual vamos integrar, neste caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Á

Passo 5

Como a expressão dentro da raiz não depende de , podemos separar a integral:
Á
Primeiro, vamos calcular a integral interna em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma mudança de variável para simplificar a expressão quadrática:
Completa-se o quadrado:
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição , :
Podemos fatorar 2 de dentro da raiz:
Essa integral é uma forma padrão que resulta em:
Voltando para :
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de a .

Passo 6

Após calcular a integral definida em relação a , obtemos um valor numérico . Como a integral em relação a vai de -1 a 1, que tem comprimento 2, multiplicamos o resultado por 2 para obter a área total.

Resposta

A área exata da superfície no intervalo dado é , onde é o valor obtido da integral . Para ilustrar, você pode traçar o gráfico da superfície considerando os valores de e nos intervalos fornecidos, resultando em uma parábola estendida no espaço tridimensional.

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