Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área exata da superfície
no intervalo onde
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função
em relação a
e
, e depois montar a integral que nos dará a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular a área de uma superfície
:
Onde
é a região sobre a qual vamos integrar, neste caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Como a expressão dentro da raiz não depende de
, podemos separar a integral:
Primeiro, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma mudança de variável para simplificar a expressão quadrática:
Completa-se o quadrado:
Então, a integral fica:
Fazendo a substituição
,
:
Podemos fatorar 2 de dentro da raiz:
Essa integral é uma forma padrão que resulta em:
Voltando para
:
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
a
.
Passo 6
Após calcular a integral definida em relação a
, obtemos um valor numérico
. Como a integral em relação a
vai de -1 a 1, que tem comprimento 2, multiplicamos o resultado
por 2 para obter a área total.
Resposta
A área exata da superfície
no intervalo dado é
, onde
é o valor obtido da integral
. Para ilustrar, você pode traçar o gráfico da superfície considerando os valores de
e
nos intervalos fornecidos, resultando em uma parábola estendida no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Use o método da variação dos parâmetros para resolver
Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula
, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente
e não
, conforme se fez no texto.
Nos Problemas 23-28, encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
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