Nos Problemas 23-28, encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
24.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Nosso objetivo é encontrar uma solução explícita para em função de . Para isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.
Passo 2
Vamos começar separando as variáveis. Queremos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro lado. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, as variáveis estão separadas, o que nos permite integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
Para resolver essas integrais, reconhecemos que elas são do tipo , cuja solução é conhecida. A integral geral é:
No nosso caso, , então aplicamos essa fórmula a ambas as integrais.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração simplificada.
Passo 5
Para resolver para , vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :
Passo 7
Com , a equação fica:
Agora, resolvemos para :
Distribuindo:
Simplificando:
Resposta
A solução explícita para o problema de valor inicial dado é .