Nos Problemas 23-28, encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
24.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
Nosso objetivo é encontrar uma solução explícita para em função de . Para isso, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Vamos começar separando as variáveis. Queremos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os termos envolvendo do outro lado. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, as variáveis estão separadas, o que nos permite integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação separada:
Para resolver essas integrais, reconhecemos que elas são do tipo , cuja solução é conhecida. A integral geral é:
No nosso caso, , então aplicamos essa fórmula a ambas as integrais.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante de integração simplificada.

Passo 5

Para resolver para , vamos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e :

Passo 7

Com , a equação fica:
Agora, resolvemos para :
Distribuindo:
Simplificando:

Resposta

A solução explícita para o problema de valor inicial dado é .

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26.