Use o método da variação dos parâmetros para resolver
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear simples. Para resolver, podemos usar um fator integrante.
Passo 3
O fator integrante,
, é dado por:
Multiplicando toda a equação homogênea por
, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Integrando ambos os lados:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando a variação dos parâmetros. Vamos supor que a solução particular seja:
Onde
é uma função a ser determinada.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Os termos
se cancelam, ficando:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos integrar para encontrar
:
Passo 8
Para integrar
, usamos a integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,
Passo 9
Agora, substituímos
na solução particular:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante
(pois ela já está na solução homogênea). Então,
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula
, implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente
e não
, conforme se fez no texto.
Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.