Use o método da variação dos parâmetros para resolver

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar uma solução particular para a equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação linear simples. Para resolver, podemos usar um fator integrante.

Passo 3

O fator integrante, , é dado por:
Multiplicando toda a equação homogênea por , temos:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Integrando ambos os lados:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando a variação dos parâmetros. Vamos supor que a solução particular seja:
Onde é uma função a ser determinada.

Passo 6

Calculando a derivada de :
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Os termos se cancelam, ficando:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos integrar para encontrar :

Passo 8

Para integrar , usamos a integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então,

Passo 9

Agora, substituímos na solução particular:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante (pois ela já está na solução homogênea). Então,

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Imaginemos a equação diferencial exata
Achar uma fórmula , implícita, para a solução, análoga a equação vista em classe, integrando inicialmente e não , conforme se fez no texto.
Seja uma solução de
e seja uma solução de
Mostrar que também é solução de (2).
Determine a área exata da superfície
Ilustre, traçando o gráfico da superfície.