Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções: f(x, y) = x * y * e^(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e depois resolver onde essas derivadas são iguais a zero.
Vamos calcular e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Como nunca é zero, podemos simplificar as equações para:
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
  1. ou . A segunda opção não tem solução real, então .
  2. ou . Novamente, a segunda opção não tem solução real, então .
Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para classificar o ponto crítico , vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto , essas derivadas simplificam para:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:

Passo 5

Com o determinante menor que zero, sabemos que o ponto crítico é um ponto de sela. Isso significa que a função não tem um máximo ou mínimo local nesse ponto, mas sim que a função “curva” em direções opostas.

Resposta

A função possui um único ponto crítico em , que é um ponto de sela.

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