Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois resolver onde essas derivadas são iguais a zero.
Vamos calcular
e
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde essas derivadas são iguais a zero:
Como
nunca é zero, podemos simplificar as equações para:
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
-
ou . A segunda opção não tem solução real, então . -
ou . Novamente, a segunda opção não tem solução real, então .
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico
, vamos usar o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
No ponto
, essas derivadas simplificam para:
Agora, calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Passo 5
Com o determinante
menor que zero, sabemos que o ponto crítico
é um ponto de sela. Isso significa que a função não tem um máximo ou mínimo local nesse ponto, mas sim que a função “curva” em direções opostas.
Resposta
A função
possui um único ponto crítico em
, que é um ponto de sela.
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é diferenciável em (1,0). Em seguida, determine seu plano tangente e encontre sua a linearização. Usando linearização encontrada, aplique no ponto
. Compara o valor obtido com o valor de
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das seguintes funções:
.
Determine
onde
éa parte do plano
que está dentro do cilindro
.
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.