Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área limitada pela curva dada em coordenadas polares, que é
, para os valores de
entre
e
. Vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e integrar para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área
delimitada por uma curva
entre dois ângulos
e
é dada pela fórmula:
Isso porque, basicamente, estamos somando infinitesimais de área que têm a forma de setores de círculos.
Passo 3
No nosso caso, a curva é
e os limites de integração são de
até
. Mas atenção! Como
representa a distância do ponto à origem e não pode ser negativa, o valor de
significa que a curva está traçando o mesmo caminho de
apenas refletida ou com orientação diferente. Para calcular a área, vamos considerar o valor absoluto, ou seja,
.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da área:
Precisamos calcular essa integral para encontrar a área.
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos aqui porque vamos avaliar em limites específicos.
Passo 6
Agora, avaliamos a integral definida de
até
:
Resposta
A área limitada pelas curvas é
.