Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área limitada pela curva dada em coordenadas polares, que é , para os valores de entre e . Vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e integrar para achar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área delimitada por uma curva entre dois ângulos e é dada pela fórmula:
Isso porque, basicamente, estamos somando infinitesimais de área que têm a forma de setores de círculos.
Passo 3
No nosso caso, a curva é e os limites de integração são de até . Mas atenção! Como representa a distância do ponto à origem e não pode ser negativa, o valor de significa que a curva está traçando o mesmo caminho de apenas refletida ou com orientação diferente. Para calcular a área, vamos considerar o valor absoluto, ou seja, .
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da área:
Precisamos calcular essa integral para encontrar a área.
Passo 5
Vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos aqui porque vamos avaliar em limites específicos.