Determine a área limitada pelas curvas em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: rho = -theta, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área limitada pela curva dada em coordenadas polares, que é , para os valores de theta entre 0 e pi / 2. Vamos usar conceitos de geometria em coordenadas polares e integrar para achar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a área A delimitada por uma curva entre dois ângulos e é dada pela fórmula:
Isso porque, basicamente, estamos somando infinitesimais de área que têm a forma de setores de círculos.

Passo 3

No nosso caso, a curva é e os limites de integração são de 0 até pi / 2. Mas atenção! Como rho representa a distância do ponto à origem e não pode ser negativa, o valor de significa que a curva está traçando o mesmo caminho de apenas refletida ou com orientação diferente. Para calcular a área, vamos considerar o valor absoluto, ou seja, .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da área:
Precisamos calcular essa integral para encontrar a área.

Passo 5

Vamos integrar em relação a theta:
Onde C é a constante de integração, que não precisamos aqui porque vamos avaliar em limites específicos.

Passo 6

Agora, avaliamos a integral definida de 0 até pi / 2:

Resposta

A área limitada pelas curvas é .

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