Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de
indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada pelas coordenadas polares
, no intervalo de
de
a
. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares. Ela é dada por:
Aqui,
é a função que descreve a curva, e
e
são os limites de
.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos primeiro calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Podemos fatorar o 2 dentro da raiz:
Então, a integral vira:
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica:
Substituímos na integral:
Passo 8
Como
é não negativa no intervalo de
a
, podemos remover o valor absoluto:
Passo 9
Vamos integrar:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
O comprimento de arco da curva
de
a
é
unidades.