Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de indicados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada pelas coordenadas polares , no intervalo de de a . Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares. Ela é dada por:
Aqui, é a função que descreve a curva, e e são os limites de .
Passo 3
No nosso caso, . Vamos primeiro calcular a derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Podemos fatorar o 2 dentro da raiz:
Então, a integral vira:
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica:
Substituímos na integral:
Passo 8
Como é não negativa no intervalo de a , podemos remover o valor absoluto: