Determine o comprimento de arco de cada curva em coordenadas polares, entre os valores de theta indicados: \rho = 1 - cos(\theta), 0 <= \theta <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de arco da curva dada pelas coordenadas polares , no intervalo de theta de 0 a . Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares, que faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco em coordenadas polares. Ela é dada por:
Aqui, rho é a função que descreve a curva, e a e b são os limites de theta.

Passo 3

No nosso caso, . Vamos primeiro calcular a derivada de rho em relação a theta:

Passo 4

Agora, vamos substituir rho e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Podemos fatorar o 2 dentro da raiz:
Então, a integral vira:

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica:
Substituímos na integral:

Passo 8

Como é não negativa no intervalo de 0 a , podemos remover o valor absoluto:

Passo 9

Vamos integrar:
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

O comprimento de arco da curva de 0 a é unidades.

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