integral arcsec x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de arcsec x em relação a x. Esse problema está na área de cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u e o que será dv na nossa integral integral arcsec x , dx.

Passo 3

Vamos definir:
u = arcsec x e dv = dx
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du, sabemos que a derivada de arcsec x é:
ddx arcsec x = 1x raizx^2 - 1
Então:
du = 1x raizx^2 - 1 , dx
E integrando dv, temos:
v = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral arcsec x , dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot arcsec x - integral x cdot 1x raizx^2 - 1 , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x raizx^2 - 1 , dx = integral 1raizx^2 - 1 , dx
Sabemos que:
integral 1raizx^2 - 1 , dx = arcsec x + C

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral arcsec x , dx = x cdot arcsec x - arcsec x + C
Podemos fatorar arcsec x:
= ( x - 1 ) cdot arcsec x + C

Resposta

A integral de arcsec x em relação a x é:
integral arcsec x , dx = (x - 1) cdot arcsec x + C

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