Determine a área limitada:
pelo laço de curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área limitada pelo laço da curva definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral aplicado a curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada e identificar os limites adequados para a integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o comportamento da curva para identificar onde ocorre o laço, ou seja, onde a curva se auto-intersecta. Isso nos ajudará a determinar os valores de que marcam o início e o fim do laço.
Vamos resolver o sistema:
Para a curva se auto-intersectar, existem diferentes valores de que resultam nas mesmas coordenadas .
Pelo sistema, vemos que implica que ou . Substituindo na primeira equação:
Portanto, os valores de que delimitam o laço são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a , que são necessárias para a fórmula da área.
Derivando :
Derivando :

Passo 4

Utilizaremos a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada:
Á
Onde e são os limites que determinam o laço.

Passo 5

Substituindo as expressões que encontramos na fórmula:
Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo:
Agora, a integral fica:
Á
Integrando termo a termo:
Assim:
Á
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Agora, subtraindo:
Multiplicando por :
Á
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área limitada pelo laço da curva é unidades de área.

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