Determine a área limitada:
pelo laço de curva
pelo laço de curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área limitada pelo laço da curva definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral aplicado a curvas paramétricas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada e identificar os limites adequados para a integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o comportamento da curva para identificar onde ocorre o laço, ou seja, onde a curva se auto-intersecta. Isso nos ajudará a determinar os valores de
que marcam o início e o fim do laço.
Vamos resolver o sistema:
Para a curva se auto-intersectar, existem diferentes valores de
que resultam nas mesmas coordenadas
.
Pelo sistema, vemos que
implica que
ou
. Substituindo
na primeira equação:
Portanto, os valores de
que delimitam o laço são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que são necessárias para a fórmula da área.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 4
Utilizaremos a fórmula para calcular a área de uma curva parametrizada:
Onde
e
são os limites que determinam o laço.
Passo 5
Substituindo as expressões que encontramos na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Subtraindo:
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Assim:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Agora, subtraindo:
Multiplicando por
:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área limitada pelo laço da curva é
unidades de área.
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