Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Passo 1
Então, temos uma integral dupla da função
onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
. Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender a região onde estamos integrando e depois inverter a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração no plano
. Temos
indo de 0 a 1. Para cada
,
vai de
a
. Isso significa que as extremidades inferiores e superiores de
são linhas retas:
e
.
Passo 3
Vamos desenhar essas linhas:
- A linha
começa na origem (0,0) e tem inclinação 2. - A linha
também começa na origem, mas com inclinação 3.
Entree , essas duas linhas formam uma “faixa” onde está entre e .
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Observando as equações das linhas:
- De
, isolando : . - De
, isolando : .
Passo 5
Determinar os novos limites:
-
varia desde 0 (quando ) até (quando e ). - Para cada
, vai de a .
Passo 6
Assim, a integral com a ordem invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Determine a área limitada:
pelo laço de curva
pelo laço de curva