Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:

Passo 1

Então, temos uma integral dupla da função onde varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a . Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, precisamos entender a região onde estamos integrando e depois inverter a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração no plano . Temos indo de 0 a 1. Para cada , vai de a . Isso significa que as extremidades inferiores e superiores de são linhas retas: e .

Passo 3

Vamos desenhar essas linhas:
  • A linha começa na origem (0,0) e tem inclinação 2.
  • A linha também começa na origem, mas com inclinação 3.
    Entre e , essas duas linhas formam uma “faixa” onde está entre e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando as equações das linhas:
  • De , isolando : .
  • De , isolando : .

Passo 5

Determinar os novos limites:
  • varia desde 0 (quando ) até (quando e ).
  • Para cada , vai de a .

Passo 6

Assim, a integral com a ordem invertida fica:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Esboce a região de integração e inverta a ordem nas seguintes integrais:
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Determine a área limitada:
pelo laço de curva