Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(2,3,4) e v=(1,0,-1)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(2,3,4) e v=(1,0,-1). Aqui, estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional e buscando calcular a área de um paralelogramo que eles formam. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e calcular o módulo (ou norma) do resultado desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dos vetores u e v. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial em 3D é:
u times v = i & j & k 2 & 3 & 4 1 & 0 & -1
Vamos calcular esse determinante:
u times v = i(3 cdot (-1) - 4 cdot 0) - j(2 cdot (-1) - 4 cdot 1) + k(2 cdot 0 - 3 cdot 1)
Simplificando cada parte:
u times v = i(-3) - j(-2 - 4) + k(0 - 3)
u times v = -3i + 6j -3k
Então, o produto vetorial é:
u times v = (-3, 6, -3)

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou norma) do vetor resultante do produto vetorial, que nos dará a área do paralelogramo. A fórmula para o módulo de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor u times v = (-3, 6, -3):
|u times v| = raiz(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2 = raiz9 + 36 + 9 = raiz54
Podemos simplificar raiz54:
raiz54 = raiz9 times 6 = raiz9 times raiz6 = 3raiz6

Resposta

Portanto, a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(2,3,4) e v=(1,0,-1) é 3raiz6 unidades de área.

Exercícios relacionados

Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A dimensão do núcleo de A é >0.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. V=M2 times 2(R) e S=[lla & b 0 & 0] rvert, a, b in R.
Prove que 4 u cdot v=|u+v|^2-|u-v|^2
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Seja V=R^2 e S=(x, y) in R^2 mid x>0.