Prove que 4 u cdot v=|u+v|^2-|u-v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que . Estamos no assunto de álgebra vetorial, especificamente trabalhando com produto escalar e normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto escalar e expandir as normas dos vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor é dada por . Então, o quadrado da norma fica .

Passo 3

Vamos expandir |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2 u cdot v + v cdot v :

Passo 4

Agora, vamos expandir |u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2 u cdot v + v cdot v :

Passo 5

Vamos subtrair as duas expressões que encontramos:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = (u cdot u + 2 u cdot v + v cdot v) - (u cdot u - 2 u cdot v + v cdot v)

Passo 6

Simplificando a expressão:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = 4 u cdot v

Resposta

Portanto, comprovamos que .

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