Prove que 4 u cdot v=|u+v|^2-|u-v|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que . Estamos no assunto de álgebra vetorial, especificamente trabalhando com produto escalar e normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto escalar e expandir as normas dos vetores envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor é dada por . Então, o quadrado da norma fica .

Passo 3

Vamos expandir |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) = u cdot u + 2 u cdot v + v cdot v :

Passo 4

Agora, vamos expandir |u - v|^2 = (u - v) cdot (u - v) = u cdot u - 2 u cdot v + v cdot v :

Passo 5

Vamos subtrair as duas expressões que encontramos:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = (u cdot u + 2 u cdot v + v cdot v) - (u cdot u - 2 u cdot v + v cdot v)

Passo 6

Simplificando a expressão:
|u + v|^2 - |u - v|^2 = 4 u cdot v

Resposta

Portanto, comprovamos que .

Exercícios relacionados

Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u=(2,3,4) e v=(1,0,-1)
Seja A uma matriz quadrada n times n com det A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - A dimensão do núcleo de A é >0.
II - O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V. Seja V=R^2 e S=(x, y) in R^2 mid x>0.
A matriz que representa a reflexão através do plano 2 x+6 y+2 z=0 em R^3 pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(B) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
© [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(D) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(E) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]-1 [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(F) [rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(G) Não sei