Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
. Estamos no assunto de álgebra vetorial, especificamente trabalhando com produto escalar e normas de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades do produto escalar e expandir as normas dos vetores envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a norma de um vetor
é dada por
. Então, o quadrado da norma fica
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Passo 4
Agora, vamos expandir
:
Passo 5
Vamos subtrair as duas expressões que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, comprovamos que
.
Exercícios relacionados
Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores
e
Seja
uma matriz quadrada
. Considere as afirmativas abaixo:
I - A dimensão do núcleo de é
.
II - O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
I - A dimensão do núcleo de
II - O conjunto de colunas de
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são verdadeiras.
© Todas são falsas.
(D) Apenas II é verdadeira.
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Seja
e
.
A matriz que representa a reflexão através do plano
em
pode ser obtida pelo seguinte cálculo:
(A)
(B)[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1[rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
©[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(D)[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(E)[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2] -1
[lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]
(F)[rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2][rrr1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1][rrr0 & 2 & 2 -2 & 0 & 6 6 & -2 & 2]^-1
(G) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G) Não sei