Determine a área do paralelogramo formados pelos vetores u e v tais que:
a) |u|=3,|v|=4, e o ângulo entre u e v e ́ pi / 3.

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. Sabemos que o comprimento de u é 3, o comprimento de v é 4, e o ângulo entre eles é pi/3. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área que envolve os comprimentos dos vetores e o seno do ângulo entre eles.

Passo 2

A fórmula para a área de um paralelogramo formado por dois vetores u e v é:
Área = |u| cdot |v| cdot sin(theta) Á
Aqui, |u| e |v| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que |u| = 3, |v| = 4, e theta = pi/3.
Área = 3 cdot 4 cdot sin(pi3) Á

Passo 4

Agora, precisamos calcular sin(pi3). Sabemos que:
sin(pi3) = raiz32
Substituindo na fórmula:
Área = 3 cdot 4 cdot raiz32 Á

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
3 cdot 4 = 12
E então:
12 cdot raiz32 = 6raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é 6raiz3 unidades de área.

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