Determine u cdot(v times w).
a) u=2 i-3 j+k, v=4 i+j-3 k, w=j+5 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores:
u = 2 i - 3 j + k, v = 4 i + j - 3 k, w = j + 5 k
E precisamos encontrar o valor de . Isso envolve duas operações principais da álgebra vetorial: o produto vetorial ( ) e o produto escalar ( ). Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e , e depois faremos o produto escalar desse resultado com .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores v = 4i + 1j - 3k w = 0i + 1j + 5k e (1)(5) - (-3)(1) = 5 + 3 = 8 é:
-(4 cdot 5 - (-3) cdot 0) = -(20 - 0) = -20
Aplicando isso aos vetores 4 cdot 1 - 1 cdot 0 = 4 - 0 = 4 e v times w = 8i - 20j + 4k :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Passo 3

Agora que temos u cdot (v times w) = (2i - 3j + k) cdot (8i - 20j + 4k) , vamos calcular o produto escalar com a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 :
2 cdot 8 + (-3) cdot (-20) + 1 cdot 4 = 16 + 60 + 4 = 80
A fórmula do produto escalar é:
Aplicando aos nossos vetores:

Resposta

O valor de é 80.

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