Determine a área do triângulo de vértices P, Q e R.
28. P(2,0,-3), Q(1,4,5) e R(7,2,9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular a área do triângulo formado pelos pontos , e . Esse exercício envolve geometria no espaço tridimensional e vai usar vetores e produto vetorial para encontrar a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar a área de um triângulo no espaço. A fórmula que a gente usa é:
Área = 12 | PQ times PR | Á
Aqui, e são vetores que vão de para e de para , respectivamente, e representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos achar os vetores PQ = Q - P = (1-2, 4-0, 5-(-3)) = (-1, 4, 8) e PR = R - P = (7-2, 2-0, 9-(-3)) = (5, 2, 12) . Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) . O produto vetorial de dois vetores PQ times PR = (4 cdot 12 - 8 cdot 2, 8 cdot 5 - (-1) cdot 12, (-1) cdot 2 - 4 cdot 5) = (48 - 16, 40 + 12, -2 - 20) = (32, 52, -22) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude desse vetor resultante, que representa o dobro da área do triângulo. A magnitude de um vetor | v | = raizv1^2 + v2^2 + v3^2 é calculada por:
| PQ times PR | = raiz32^2 + 52^2 + (-22)^2 = raiz1024 + 2704 + 484 = raiz4212 approx 64.88
Aplicando aos nossos valores:

Passo 6

Finalmente, a área do triângulo é metade dessa magnitude:
Área = 12 times 64.88 approx 32.44 Á

Resposta

A área do triângulo formado pelos pontos , e é aproximadamente 32,44 unidades de área.

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