Determine a área do paralelogramo (no plano) que tem 3 de seus vértices nos pontos
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa descobrir a área de um paralelogramo que está no plano cartesiano e que tem três de seus vértices nos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos trabalhar com vetores e usar uma fórmula de área que envolve determinantes. Vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos e como usar determinantes para achar áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que vão ajudar a formar o paralelogramo. Vamos escolher um dos pontos como base, por exemplo, o ponto
. A partir dele, podemos criar dois vetores que apontam para os outros dois pontos dados.
- Vetor
: vai de para - Vetor
: vai de para
Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de
das coordenadas de
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular agora as componentes desses vetores.
-
Para
: -
Para
:
Então, temos
e
.
Passo 4
Agora, para encontrar a área do paralelogramo formado por esses dois vetores, usamos uma fórmula que envolve o determinante desses vetores. A área
é dada por:
Em duas dimensões, o determinante é calculado assim:
Onde
e
.
Passo 5
Vamos aplicar os valores que encontramos:
Calculando o determinante:
Como a área é o valor absoluto do determinante:
Resposta
A área do paralelogramo é 24 unidades quadradas.