Determine a área do paralelogramo (no plano) que tem 3 de seus vértices nos pontos
(b) P=(-4,1), Q=(-1,3) e R=(-7,7).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa descobrir a área de um paralelogramo que está no plano cartesiano e que tem três de seus vértices nos pontos , e . Para resolver isso, vamos trabalhar com vetores e usar uma fórmula de área que envolve determinantes. Vamos precisar entender como calcular vetores a partir de pontos e como usar determinantes para achar áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que vão ajudar a formar o paralelogramo. Vamos escolher um dos pontos como base, por exemplo, o ponto . A partir dele, podemos criar dois vetores que apontam para os outros dois pontos dados.
  • Vetor : vai de para
  • Vetor : vai de para
Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular agora as componentes desses vetores.
  • Para PQ = Q - P = (-1 - (-4), 3 - 1) = (3, 2) :
    PR = R - P = (-7 - (-4), 7 - 1) = (-3, 6)
  • Para :
Então, temos e .

Passo 4

Agora, para encontrar a área do paralelogramo formado por esses dois vetores, usamos uma fórmula que envolve o determinante desses vetores. A área A = | PQ times PR | = | determinante | é dada por:
determinante = (a cdot d) - (b cdot c)
Em duas dimensões, o determinante é calculado assim:
Onde e .

Passo 5

Vamos aplicar os valores que encontramos:
PQ = (3, 2) e PR = (-3, 6)
Calculando o determinante:
determinante = (3 cdot 6) - (2 cdot (-3)) = 18 + 6 = 24
Como a área é o valor absoluto do determinante:
A = |24| = 24

Resposta

A área do paralelogramo é 24 unidades quadradas.

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