Obtenha equações paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas.
50. A reta que passa pela origem e é paralela à reta x=t, y=-1+t, z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0, 0, 0)) e que é paralela à reta definida por , , . Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de geometria analítica, especificamente com equações paramétricas de retas e vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser paralela a outra. Duas retas são paralelas se elas têm a mesma direção, ou seja, se os vetores diretores delas são iguais ou múltiplos um do outro.
A reta dada tem as equações paramétricas:
x = t y = -1 + t z = 2
Aqui, o parâmetro é d = (1, 1, 0) . O vetor diretor dessa reta é obtido pelos coeficientes de nas equações:
Isso porque varia com de forma direta ( ), também varia com ( ), e não varia com (coeficiente 0).

Passo 3

Agora, queremos uma reta que passa pela origem e que tenha o mesmo vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . As equações paramétricas de uma reta são geralmente escritas como:
x = 0 + 1 times t y = 0 + 1 times t z = 0 + 0 times t
onde x = t y = t z = 0 é um ponto pela qual a reta passa (neste caso, a origem ) e é o vetor diretor.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

As equações paramétricas da reta que passa pela origem e é paralela à reta dada são:
x = t y = t z = 0

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