Determine: a área da parte do cilindro
que fica sobre o triângulo de vértices
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos encontrar a área da parte do cilindro
que está sobre um triângulo com vértices nos pontos
,
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de áreas de superfícies através de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a região sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo com vértices
,
e
está no plano
e pode ser descrito pelas seguintes inequações:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como
, a superfície é descrita em termos de
. Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula:
Onde
é a região do triângulo definida anteriormente.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
:
-
(pois não depende de ) -
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla com os limites de
e
:
Como a expressão
não depende de
, podemos integrar em relação a
primeiro:
Passo 6
Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja
, então:
Mudamos os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculando a integral:
Simplificando:
Portanto:
Resposta
A área da parte do cilindro
sobre o triângulo dado é
unidades de área.
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e
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