Determine: a área da parte do cilindro z = y^2 que fica sobre o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e 1,1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos encontrar a área da parte do cilindro que está sobre um triângulo com vértices nos pontos , e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de áreas de superfícies através de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a região sobre a qual vamos calcular a área. O triângulo com vértices , e está no plano e pode ser descrito pelas seguintes inequações:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como , a superfície é descrita em termos de . Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula:
Á
Onde é a região do triângulo definida anteriormente.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de :
  • (pois não depende de )
Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com os limites de e :
Á
Como a expressão não depende de , podemos integrar em relação a primeiro:
Á

Passo 6

Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja , então:
Mudamos os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:
Á

Passo 7

Calculando a integral:
Simplificando:
Portanto:
Á

Resposta

A área da parte do cilindro sobre o triângulo dado é unidades de área.

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