Usando as propriedades adequadas, faça a expansão das expressões a seguir de forma a reduzi-las a produtos e somas de expressões elementares (que não podem mais ser simplificadas). log_7(raiz((x^2 + 4) / ((x^2 + 1) * (x^3 - 7)^2)))

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para expandir a expressão log_7(raiz((x^2 + 4) / ((x^2 + 1) * (x^3 - 7)^2))) usando propriedades dos logaritmos. A matéria envolvida são as propriedades dos logaritmos, e vamos precisar aplicar propriedades como a da raiz, quociente, produto e potência para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a raiz quadrada dentro do logaritmo. Sabemos que , então podemos usar a propriedade do logaritmo que diz . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o logaritmo do quociente. A propriedade nos ajuda aqui. Aplicando essa propriedade:

Passo 4

Vamos agora expandir o logaritmo do produto no denominador. Usamos a propriedade . Assim:

Passo 5

Por último, vamos simplificar o logaritmo com a potência . Usamos novamente , então temos:

Passo 6

Agora, distribuindo o 1/2 em cada termo dentro dos parênteses:

Resposta

A expressão expandida fica:

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