Sejam f(t)=t imath+2 t^2 jmath+3 t^3 k e g(t)=3 t imath-2 jmath+4 t^2 k. Calcule:
lim t 1[f(t)+g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções vetoriais, e , e precisa calcular o limite quando se aproxima de 1 da soma dessas duas funções. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e operações com vetores. Vamos precisar somar os componentes correspondentes de e e depois calcular o limite de cada componente.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas funções vetoriais f(t) + g(t) = (t imath + 3t imath) + (2t^2 jmath - 2 jmath) + (3t^3 k + 4t^2 k) e . Isso significa que vamos somar as componentes de , e separadamente.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada componente:
  • Componente t imath + 3t imath = (t + 3t) imath = 4t imath :
2t^2 jmath - 2 jmath = (2t^2 - 2) jmath
  • Componente 3t^3 k + 4t^2 k = (3t^3 + 4t^2) k :
f(t) + g(t) = 4t imath + (2t^2 - 2) jmath + (3t^3 + 4t^2) k
  • Componente :
Então, a soma das duas funções vetoriais fica:

Passo 4

Agora que temos a soma das funções, vamos calcular o limite quando limt to 1 4t = 4 times 1 = 4 se aproxima de 1 para cada componente.
  • Componente limt to 1 (2t^2 - 2) = 2 times (1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0 :
limt to 1 (3t^3 + 4t^2) = 3 times (1)^3 + 4 times (1)^2 = 3 + 4 = 7
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

Portanto, o limite da soma das funções vetoriais quando limt to 1 [f(t) + g(t)] = 4 imath + 0 jmath + 7 k = 4 imath + 7 k se aproxima de 1 é:

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