Usando as propriedades adequadas, faça a expansão das expressões a seguir de forma a reduzi-las a produtos e somas de expressões elementares (que não podem mais ser simplificadas). ln(x * raiz(y / x))

Passo 1

Vamos resolver a expressão ln(x * raiz(y / x)). O conteúdo que vamos usar aqui é o logaritmo natural e suas propriedades, especialmente as que envolvem produtos e potências. Para simplificar essa expressão, vamos precisar aplicar as regras de logaritmos que transformam produtos em somas e potências em multiplicações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro do logaritmo para facilitar a aplicação das propriedades. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de 1/2. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade do logaritmo que transforma um produto em uma soma:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 4

Em seguida, vamos aplicar a propriedade que trata de potências dentro do logaritmo:
Assim, aplicando à segunda parte da expressão:

Passo 5

Agora, vamos simplificar usando a propriedade que transforma a divisão em uma diferença de logaritmos:
Aplicando isso:

Passo 6

Vamos agora distribuir o 1/2:

Passo 7

Por fim, podemos combinar os termos com ln x:

Resposta

A expressão simplificada é:

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