Determine a área da parte do plano 2x + 5y + z = 10 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte do plano que está dentro do cilindro . O conteúdo envolve geometria espacial e cálculo de integrais para calcular áreas de superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o plano e usar coordenadas polares para facilitar a integração dentro do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para facilitar o trabalho. A equação do plano é . Podemos isolar :
Isso nos dá uma forma de expressar em termos de e .

Passo 3

Agora, para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada. Se , a área é dada por:
Aqui, é a região no plano limitada pelo cilindro .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da área:
Como é constante, podemos tirar da integral:

Passo 5

A integral representa a área da base , que é o círculo . A área de um círculo é , onde (raio do cilindro). Então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da área da superfície:

Resposta

A área da parte do plano que está dentro do cilindro é unidades de área.

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