Determine a área da parte do plano
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a área da parte do plano
que está dentro do cilindro
. O conteúdo envolve geometria espacial e cálculo de integrais para calcular áreas de superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o plano e usar coordenadas polares para facilitar a integração dentro do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do plano para facilitar o trabalho. A equação do plano é
. Podemos isolar
:
Isso nos dá uma forma de expressar
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada. Se
, a área
é dada por:
Aqui,
é a região no plano
limitada pelo cilindro
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Como
é constante, podemos tirar da integral:
Passo 5
A integral
representa a área da base
, que é o círculo
. A área de um círculo é
, onde
(raio do cilindro). Então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da parte do plano
que está dentro do cilindro
é
unidades de área.